prinsip hamilton

Prinsip Hamilton-

Mekanika Lagrangian dan Hamiltonian

Gerak partikel dalam kerangka acuan tertentuà pers Newton

Bagaimana untuk sistem yang kompleks, misal gerak partikel dalam permukaan bola ?

à pers Newton menjadi kompleks dan sulit untuk dimanipulasi

Cara lain, prinsip Hamilton à pers Lagrange

Koordinat umum

Posisi partikel yang bergerak dalam

-         alam ruang à 3 koordinat

-         bidang/permukaan à 2 koordinat

-         garis lurus atau kurva à 1 koordinat

secara umum, N partikel à3N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel

n koordinat yang dibutuhkan untuk menyatakan susunan suatu sistem

         

disebut koordinat umum. Sebuah koordinat mencakup jarak atau sudutnya.

Holonomik à masing-masing koordinat bervariasi secara bebas satu sama lain.

Derajat kebebasan àjumlah koordinat n

Nonholonomik àderajat kebebasan < jumlah koordinat

Untuk partikel tunggal, koordinat kartesian dapat dinyatakan dalam fungsi koordinat umum

                                           (1 derajat kebebasan-gerak dalam kurva)

                                     (2 derajat kebebasan-gerak pada permukaan)

                                 (3 derajat kebebasan-gerak dalam ruang)

Kecepatan dalam koordinat umum

         

          . . . . . . . .

dan invers transformasinya

         

         

Misalkan q berubah dari nilai awal menjadi , maka perubahan dalam koordinat kartesian

         

         

          ..............

Misalnya untuk gerak partikel dalam bidang dan kita gunakan koodinat polar

           dan

maka

         

dan

         

Secara umum, untuk sejumlah besar partikel, sistem mempunyai n derajat kebebasan dan koordinat umum

         

perubahan susunan () menjadi () mewakili partikel i bergerak dari titik () menuju titik () dimana

         

Gaya umum

Sebuah pertikel mengalami perpindahan dibawah pengaruh gaya , maka usaha  yang dilakukan gaya tersebut

         

Dapat dituliskan dalam notasi

                                                                                                 (1)

untuk partikel tunggal, dan untuk sistem partikel

         

Dengan membalik urutan penjumlahan

         

                                                                                                (2)

dimana

                                                                                            (3)

Notasi  menyatakan gaya umum berkaitan dengan koordinat . Karena perkalian  mempunyai dimensi usaha maka  mempunyai dimensi gaya jika  adalah jarak dan mempunyai dimensi torka jika  adalah sudut.

Misalnya untuk benda tegar, usaha yang dilakukan oleh gaya eksternal ketika benda berputar sebesar  adalah  dimana adalah besarnya momen semua gaya. Dalam hal ini  adalah gaya umum berkaitan dengan koordinat .

Gaya umum untuk sistem konservatif

Gaya yang bekerja pada partikel dalam pengaruh medan gaya konservatif

         

dimana V adalah energi potensial. Rumusan gaya umum menjadi

         

                                                                                                      (4)

Misalnya, dalam koordinat polar  dan  maka gaya umum

           dan

Jika V hanya fungsi r (gaya sentral) maka

Contoh soal:

Consider the motion of a particle of mass m moving in a plane. Using the plane polar coordinates (r, θ) as generalized coordinates, calculate  the generalized forces for a particle acted on by a force

Solusi

Dalam koordinat polar (r, θ) maka koordinat umum

           dan

Berdasarkan definisi gaya umum

maka

Persamaan Lagrange

àpers gerak dalam koordinat umum.

Pers gerak

         

Energi kinetik T dalam koordinat kartesian dinyatakan sebagai fungsi dari koordinat umum  dan turunannya terhadap waktu. Untuk sistem N partikel

         

                                                                                                 (5)

Koordinat kartesian merupakan fungsi dari koordinat umum dan waktu t.

         

sehingga

                                                                                        (6)

Berdasarkan pers diatas maka kita dapat menyatakan T sebagai fungsi koordinat umum, turunannya terhadap waktu dan mungkin juga waktu. Biasanya waktu t tidak secara eksplisit termasuk dalam hubungan antara x_i dan q_k sehingga , energi kinetik T merupakan fungsi kuadrat kecepatan umum .

Dari perntayaan untuk

                                                                                                      (7)

Dikalikan dengan  dan diturunkan terhadap waktu t

         

atau

         

dikalikan dengan m_i dan , maka

         

Dengan menjumlahkan untuk seluruh i

                                                                               (8)

Dari definisi gaya umum Q_k

                                                                                            (9)

Merupakan persamaan gerak dalam koordinat umum ”pers gerak Lagrange”

Dalam kasus gerak konservatif dimana Q dinyatakan dalam pers (4). Maka pers Lagrange

                                                                                           (10)

Dari pers diatas kita bisa mendefinisikan fungsi Lagrange

         

dimana T dan V dinyatakan dalam koordinat umum,  dan

           dan

Sehingga pers Lagrange

                                                                                                   (11)

Jika gaya umum nonkonservatif, misalnya  dan turunan fungsi potensial V

                                                                                                 (12)

Turunan pers gerak

                                                                                            (13)

Pers Lagrange mempunyai bentuk yang sama untuk sebarang sistem koordinat.

Cara lain untuk mendapatkan pers Lagrange dengan menggunakan prinsip Hamilton

Dalam dua publikasinya yaitu tahun 1834 dan 1835, Hamilton mempublikasikan prinsip Hamilton

Dalam bentuk kalkulus variasi, prinsip Hamilton  menjadi

                                                                                              (14)

dimana  menyatakan variasi seperti yang dibahas dalam bab sebelumnya.

Fungsi Lagrange , maka

         

Fungsi L à f  dalam intergral variasi

         

Jika kita transformasikan

         

Sehingga Pers Euler, variasi untuk pers (14)

                                                                                               (15)

Aplikasi persamaan Lagrange

Langkah-langkah untuk  membentuk pers gerak sistem

1.     pilih koordinat yang sesuai dengan susunan sistem

2.     tentukan energi kinetik T sebagai fungsi koordinat dan turunannya terhadap waktu

3.     jika sistem konservartif, tentukan energi potensial sebagai fungsi koordinat dan jika sistem nonkonservatif tentukan gaya umum Q_k

4.     pers gerak dinayatakan oleh pers (9), (10) atau (11)

contoh:

1. osilator harmonik

osilator harmonik 1D dengan gaya paksa sebanding dengan kecepatan, sistem non konservatif. Jika x adalah koordinat perpindahan maka fungsi Lagrange

         

dimana m adalah massa dan K adalah konstanta pegas.

                

Karena terdapat gaya nonkonservatif , maka pers gerak

         

         

atau

         

Pers gerak osilator harmonik untuk untuk partikel tunggal (1D) dalam pengaruh medan sentral.

Pers Lagrange untuk partikel yang bergerak pada bidang dalam pengaruh gaya sentral. Dalam koordinat polar  ,   maka

         

         

         

Turunan parsialnya

                

             

Ini merupakan sitem konservatif  dan pers geraknya

                      

               

Menyatakan gerak partikel dalam medan sentral.

2. pendulum sederhana

 Fungsi Lagrangian

Transformasi koordinal

             

Sehingga fungsi Lagrange

              

                  

Berdasarkan pers Lagrange

Didapatkan pers gerak

3. mesin Atwood

Consider an Atwood machine consisting of a single pulley of moment of inertia I about an axis through its center and perpendicular to its plane. The length of the inextensibte string connecting the two masses and going over the pulley is I. Calculate the acceleration of the system.

Solution

Energi kinetik sistem

         

dimana I adalah momen inersia kerekan. Energi potensial

         

Dengan asumsi tidak ada gaya gesek maka fungsi Lagrange

         

dan pers Lagrange

         

         

         

Equivalensi Pers Lagrange dan Pers Newton.

Buktikan !

Momentum dalam koordinat umum

Untuk partikel yang bergerak lurus (1D) maka energi kinetiknya

         

Momentum

         

Jika sistem dinyatakan dalam koordinat umum  maka

                                                                                                        (17)

disebut momentum umum. Pers Lagrange untuk sistem konservatif

                                                                                                        (18)

Sebuah koordinat misalnya  secara eksplisit tidak mengandung L

         

sehingga

          = konstan = c_λ

Koordinat dikatakan dapat diabaikan, momentum umum berkaitan dengan koordinat yang dapat diabaikan  bernilai konstan.

Misalnya dalam kasus partikel bergerak menggelinding dalam bidang miring, koordinat x, posisi bidang tidak mencakup fungsi Lagrangian L sehingga x merupakan koordinat yang dapat diabaikan.

          konstan

Kenyataannnya adalah komponen horizontal total dari momentum linier sistem dan karena tidak ada gaya eksternal horizontal yang bekerja pada sistem maka komponen horizontal dari momentum linier harus konstan.

Contoh lain koordinat yang dapat diabaikan adalah gerak dalam medan sentral. Dalam koordinat polar

         

Dalam hal ini,  adalah koordinat yang dapat diabaikan

          konstan

Contoh:

         

Persamaan Hamilton

Fungsi koordinat umum

         

Untuk dinamika sistem sederhana, energi kinetik T adalah fungsi homogen kuadrat dari , dan energi potensial adalah fungsi dari q itu sendiri sehingga

         

Teorema Euler untuk fungsi homogen f dengan derajat kebebasan n dalam variabel x₁, x₂, . . ., x_n

         

maka

         

sehingga

                                                               (27)

Fungsi H sama dengan energi total untuk sistem yang kita bahas.

Untuk n persamaan

              (k=1, 2, ..., n)

dan

         

H dapat dinyatakan sebagai fungsi p dan q

                                                                          (28)

Variasi fungsi H berkaitan dengan variasi ,

         

                        

Karena pers Lagrange dapat ditulis dalam bentuk maka

         

Variasi H dinyatakan

         

dimana

         

                                                                                                       (29)

Pers diatas disebut sebagai pers gerak Hamiltonian kanonik, terdiri dari 2n pers differensial orde 1 dimana dalam pers Lagrange terdiri dari n pers differensial orde 2.

Cara lain :

Pers gerak kanonik dapat juga diturunkan secara langsung dari kalkulus variasi berdasarkan prinsip Hamilton modifikasi. Fungsi Lagrange dapat dinyatakan

                                                                            a

dan pernyataan fungsi Hamilton

         

                                      b

Dalam formulasi Hamiltonian , q_j dan p_j saling bebas. Sedangkan  dan  mempunyai hubungan

         

Sehingga suku pertama dari pers b menjadi

         

Integralkan secara parsial, bentuk integral hilang sehingga

         

         

Pers b disusun kembali menjadi

         

Jika  dan  bervariasi secara bebas maka suku-suku dalam tanda kurung harus sama dengan nol dan didapatkan pers hamilton kanonik

                dan

         

Contoh:

Tentukan pers Hamilton untuk gerak osilator harmonik 1D!

Solusi:

                       

                   

maka

         

Pers geraknya

                                  

                            

Pers kedua dapat dituliskan

         

           àpers gerak osilator harmonik

Tentukan pers Hamilton untuk gerak partikel dalam pengaruh medan sentral

Solusi:

         

         

Dalam koordinat polar

                         

                     

sehingga

         

Pers Hamilton

                               

dan

         

         

         

         

Pers ketiga menyatakan momentum sudut konstan

          konstan

dan pers kedua

         

pers gerak bagian radial.

Gunakan metode Hamiltonian untuk mencari pers gerak bandul sferis dengan massa m dan panjang b (seperti gambar)

Solusi:

Koordinat umum adalah θ dan Φ. Energi kinetik

         

Hanya gaya gravitasi yang bekerja pada bandul sederhana.

         

Momentum dalam koordinat umum

         

         

Berdasarkan Hamiltonian H

         

dan persamaan geraknya

         

         

         

         

Karena  adalah siklik, momentum  disekitar sumbu simetri bernilai konstan.

Teorema tentang Energi Kinetik

Jika energi kinetik dinyatakan dalam koordinat rektangular, berupa fungsi kuadrat homogen dari

                                                                                       (a.1)

Kebergantungan T pada koordinat umum dan kecepatan secara detail

                                                                      (a.2)  

                                                                                 (a.3)

Jika  dikuadratkan

         

dan energi kinetik menjadi

         

Sehingga hasil umumnya

                                                                            (a.4)

Untuk sistem scleronomic, variabel waktu tidak muncul secara eksplisit dalam pers transformasi maka turunan terhadap waktunya nol

         

Sehingga dalam kondisi ini, energi kinetik merupakan fungsi kuadrat homogen kecepatan dalam koordinat umum.

                                                                                              (a.5)

Turunan T diatas terhadap

                                                                              (a.6)

Kalikan pers ini dengan  dan jumlahkan untuk seluruh l maka didapat

                                                                   (a.7)

Indeks dalam pers diatas adalah serupa sehingga dua suku dalam ruas kanan pers diatas sama

                                                                          (a.8)

Hasil ini sesuai dengan teorema Euler yang menyatakan bahwa jika adalah fungsi homogen dari  dengan derajat n maka

                                                                                              (a.9)

Revisi Hukum Kekekalan

Kekekalan energi

Variabel waktu bersifat homogen dalam kerangka acuan inersial sehingga Lagrangian untuk sistem tertutup (tidak ada interaksi dengan sistem luar) tidak tergantung secara eksplisit terhadap waktu.

                                                                                                         (b.1)

Sehingga turunan total Lagrangian menjadi

                                                                           (b.2)

dimana suku  tidak ada dalam pers diatas. Tetapi pers Lagrange

                                                                                                (b.3)

Disubsitusikan dalam pers b.2 menjadi

                                                                       

                                                                                

                                                                                    (b.4)

Suku-suku dalam tanda kurung konstan terhadp waktu, dinotasikan dengan –H

          konstan                                                              (b.5)

Jika energi potensial V tidak bergantung terhadap kecepatan atau waktu t maka . Hubungan antara koordinat rektangular dankoordinat umum dalam bentuk  atau  dimana waktu diabaikan dalam pers transformasi. karena  dan  maka

                                                                                     (b.6)

Pers b.5 dapat dituliskan

                                                                                (b.7)

dan dari teorema Euler

         

          konstan                                                                      (b.8)

Energi total E konstan

Fungsi H disebut Hamiltonian sistem, seperti dinyatakan dalam pers b.5. Hamiltonian H sama dengan energi total E jika terpenuhi kondisi berikut:

1.     pers transformasi antara koordinat rektangular dan koordinat umum tidak bergantung waktu, energi kinetik merupakan fungsi kuadrat homogen dari

2.     energi potensial tidak bengantung pada kecepatan sehingga suku  dapat dieliminasi dari pers H.

Kekalan momentum linier

Karena ruang bersifat homogen dalam kerangka acuan inersial, Lagrangian untuk sistem tertutup tidak terpengaruh oleh translasi sistem dalam ruang. Translasi infinitesimal untuk setiap vektor jarak  misalnya , jumlah translasi total untuk seluruh sistem . Untuk menyederhanakan, misalkan sistem terdiri dari partikel tunggal dan Lagrangian untuk koordinat rektangular . Perubahan L karena perpindahan infinitesimal

                                                                       (b.9)

Kita hanya meninjau variasi perpindahan, makabukan fungsi waktu.

                                                                                    (b.10)

dan menjadi

                                                                                        (b.11)

Karena masing-masing adalah perpindahan bebas/sebarang,  nol jika turunan parsialnya nol

         

Sehingga persamaan Lagrange  

                                                                                                    

          konstan                                                                                    (b.12)

atau

         

                     konstan                                                      (b.13)

Homogenitas ruang menunjukkan bahwa momentum linier  untuk sistem tertutup adalah konstan.

Kekalan momentum sudut

Salah satu karakteristik kerangka acuan inersial, isotropik à sifat mekanik sistem tertutup tidak terpengaruh oleh orientasi sistem. Secara khusus, Lagrangian untuk sistem tertutup tidak berybah jika sistem diputar untuk sudut infinitesimal tertentu.

Sistem diputar sebesar sudut infinitesimal

Jika sistem diputar pada sumbu tertentu sebesar sudut infinitesimal , vektor posisi  berubah menjadi  dimana

                                                                                                    (b.14)

Vektor kecepatan juga berubah dalam rorasi sistem ini

                                                                                                   (b.15)

Untuk partikel tunggal dan lagrangian dinyatakan dalam koordinat rektangular maka perubahan L akibat rotasi infinitesimal

                                                                      (b.16)

Komponen rektangular vektor momentum

         

Sehingga pers Lagrange dapat dinyatakan

                                                                                                       (b.17)

Maka perubahan L b.16 menjadi

         

atau

         

Dari pers b14 dan b.15

         

Permutasi siklik dari triple scalar product diatas tanpa merubah nilainya

         

         

Suku dalam tanda kurung kotak merupakan turunan terhadap waktu dari  sehingga

         

Karena  sebarang

konstan                                                                             (b.18)

Momentum sudut dalam sistem tertutup konstan.

Glosari

Derajat kebebasan/degree of freedom

Bentuk umum yang digunakan untuk menyatakan parameter bebas, dalam matematika berupa dimensi ruang fase